sinn u2怎么样，级数sin1n的敛散性怎么判断

1，级数sin1n的敛散性怎么判断

具体回答如图：将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。扩展资料：级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。每项比前项的比值较小，部分和也就增加较少而较倾向于有界，因此正项级数又有比值判别法。有当分解成的级数都收敛的前提下才是有意义的，这就导致人们来考虑一个级数逐项取绝对值后所得到的正项级数是否收敛的问题。

级数sin1n的敛散性怎么判断

2，周期函数的判定定理

周期函数定理，总结一共分一下几个类型。若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集证：∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T（0<T<T*）是K f(X)+C的周期，则对T（0<T<T*）是K f(X)+C的周期，有K f(X+T）+C=K f(X) +C K[f(X+T）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T）- f(X)=0，∴f(X+T）= f(X），∴T是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。同理可证1/ f(X）是集证：【先证f(ax+b)的周期】∵T*是f(X）的周期，∴f(x±T*)=f(x)，有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T*+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f（ax+b）的周期。再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T/a（0<T<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T）=f（x）∴T是f(x）的周期，但 T<T*这与T*是f(x）的最小正周期矛盾。∴不存在T/a（0<T<T*；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a 设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。证：设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。例1设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。例2f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。例3f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z）与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。证：设（（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。推论　设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。例1f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。例2讨论f(X)= 的周期性解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。又都是有理数∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。同理可证：⑴f(X)=cos ;⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。证先证充分性：若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。令x= 得2cos（a1x+），则（K∈Z）。⑵或 C∈Z⑶又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0由⑷由sin ⑸由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。由⑶、（5得）⑹∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。

周期函数的判定定理

3，函数的概念及性质

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。　　周期函数性质：　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 1、周期函数的定义及性质定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对有（X±T）；（2）对有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。2、性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。因而周期函数必定有正周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……=f（x+T）= f(X)。当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对（f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴ 有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数。3、周期函数的判定定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。证：∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T（ 0＜T＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T)+C=K f(X) +C K[f(X+T)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T)- f(X)=0，∴f(X+T)= f(X)，∴T是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。证：（先证是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T（0＜T＜）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT是f(X)的周期，但＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。证：设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。例3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

函数的概念及性质